高校生の知識だけで証明するガウス積分

\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
\end{equation*}

を考えます。左辺は

\begin{eqnarray*}
\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx
\end{eqnarray*}

を意味します（注１）。この積分をガウス積分と呼び、数学や物理学では多用される非常に重要な結果です。簡単そうに見えますか？結構、難しいですよ。

これを示すには、二重積分を用いて変数変換をしたり、ガンマ関数をつかったりするのがメジャーなやり方ですが、いずれも高校生には難解です。

今回は、この多重積分もガンマ関数も用いずに、ほぼ高校の数学のみでガウス積分の結果を証明します。

「ほぼ」と書きましたが、便宜上、証明には二重階乗を用いるので、その部分だけは高校の数学の範囲を逸脱しています（ごめんなさい）。

以下の記事では、高校で学習する微積分の知識に加えて

１．二重階乗[ほんの少しだけ高校の数学外]　（詳細）

２．$\sin^n x$の定積分の公式[高校の数学]　（詳細）

３．Wallisの公式[高校の数学のみで証明可]　（詳細）

を利用します。理解できてない部分は記事を読んで確認してから以下を読み進めてください。

極限値の難問 n(x^1/n-1)→? （n→∞)

$ x > 0 $ において、

\begin{eqnarray*}
\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt[n]{x}-1 \right)　
\end{eqnarray*}

を考えます。この結果は、高校の数学のみで理解できますが、発想が難しいかも知れません。

必要な知識

-微分の定義

-高校で学ぶ程度の微積分（とくに$a^x$を$a$で微分するとどうなるか)←ヒントですよ！

Wallisの公式 その1

Wallisの公式

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{(2^nn!)^2}{(2n)!} = \sqrt{\pi}\end{equation}

を証明します。

必要な知識
- $ \sin $のn乗の定積分の公式 （詳細）
- 二重階乗を一重階乗に変換する定理（詳細）
- 極限の知識
- はさみうちの原理

知っていると便利な極限その4 e^(1/x)/x^n→? (x→+0)

\begin{equation*} \lim_{x \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^n} \end{equation*}


がいくつになるか知っていますか？ 知っていると便利な極限なので求めておきましょう。今回はやや易しめです。

（本稿ではδ-ε論法は使わず高校生でも分かる求め方を扱います。）




必要な知識

- 高校で学習するレベルの極限の知識

発散の速さについて

$\log x,x^n,e^x,x^x$といった関数はいずれも$x \rightarrow \infty$ で無限大に発散することが知られている。しかし、同じ無限大でも、「発散の速さ」に差がある。ここではグラフを見て、発散の速度の違いを認識する。


必要な知識
-高校数学程度の極限に関する知識

知っていると便利な極限その1 nのn乗根→? (n→∞)

\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}
\end{equation*}

がいくつになるか知っていますか？
知っていると便利な極限なので求めておきましょう。
（本稿ではδ-ε論法は使わず高校生でも分かる求め方を扱います。）


必要な知識
- 高校で学習する程度の極限
- はさみうちの原理
- 二項定理

知っていると便利な極限その2 (n!)^(1/n)→? (n→∞)

\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}
\end{equation*}

がいくつになるか知っていますか？
知っていると便利な極限なので求めておきましょう。


必要な知識
- 高校で学習する程度の極限
- はさみうちの原理
- 総乗記号Πの扱い