相反方程式の解法

次のような方程式を相反方程式や逆数方程式と呼びます。
\begin{eqnarray*}
5x^4+4x^3+3x^2+4x+5&=&0 \\
7x^5+8x^4+3x^3+3x^2+8x+7&=&0
\end{eqnarray*}

上から順に、4次,5次の相反方程式です。係数が左右対称になっています。

もちろん、より次数の高い相反方程式も存在します。

実はこの相反方程式、高次であっても比較的簡単に解くことができます。本稿では相反方程式の解き方を学びます。

必要な知識

- 数と式

- 二次方程式の解の公式

- 整式のわり算

- 因数定理

連立方程式の解の公式

中学では2次方程式の解の公式を学習します。3次や4次の代数方程式の解の公式を知っている人も居ると思います。

今回は、2元1次連立方程式の解の公式を求めます。

必要な知識
- 中学3年生までの数学

sin x=2 を満たすx は??

\begin{equation*}
\sin x=2
\end{equation*}
をみたす$x$は存在するか。


という問いについて考えます。

\begin{equation}
-1 \leq \sin x \leq 1
\end{equation}
なので、方程式$\sin x=2$を満たす解は「ない」というのは間違いです。不等式(1)は$x$の定義域が実数の時にのみ有効です。この問いでは、$x$を実数とは限定していません（高校数学では文字の定義に断りがない場合は暗黙に実数と了解されてしまうことも多いですが…）。三角関数の定義域は複素数にまで拡張できます。

以下はオイラーの公式

\begin{equation*}
e^{ix}=\cos x + i \sin x
\end{equation*}
を既知とするので注意してください（オイラーの公式がなにものか知らなくても、形式的にこの公式を受け入れれば、理解できます）。

必要な知識
- オイラーの公式
- 対数関数
- 2次方程式の解の公式

次数が奇数の代数方程式は実数解を必ず持つ。

一般に、
\begin{equation*}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x^1+a_0=0　(a \neq 0)
\end{equation*}
と書ける方程式を$n$次の代数方程式と呼びます。そして、代数方程式でない方程式を超越方程式などと呼びます。例えば、$x$に関する方程式
\begin{eqnarray*}
\log x = 23 \\
\sin 2x = \pi \\
\end{eqnarray*}
などは超越方程式です。

さて、次数が奇数の多項式
\begin{equation*}
a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1+}\dots+a_1x+a_0　(a \neq 0)
\end{equation*}
は零解、つまり
\begin{equation*}
a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1+}\dots+a_1x+a_0 = 0　(a \neq 0)
\end{equation*}
を満たす実数$x$を持つことが知られています。これを示します。

必要な知識
- 中間値の定理
- 多項式の極限

高次代数方程式の共役解

一般に$n$次の実数係数の代数方程式
\begin{equation}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0　(a_n \neq 0)
\end{equation}
において、複素数$\alpha$がこの方程式の解ならば、その共役複素数$\overline{\alpha}$もこの方程式の解になる。
この定理を証明します。


必要な知識
- 共役複素数の計算法則

n次方程式の解と係数の関係

2次方程式$ax^2+bx+c=0$の解を$\alpha,\beta$とするとき、
\begin{eqnarray*}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \\
      \alpha \beta = \frac{c}{a}
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
という関係が成立します(ただし、$a \neq 0$)。これは高校の教科書にも載っている重要な関係式で、2次方程式の解と係数の関係と呼びます。一般に解と係数の関係は方程式の係数が虚数でも用いることができました。高校数学の範囲内では根号内の虚数は処理できないので、解の公式は実係数の方程式でしか利用できませんが、解と係数の関係は虚数係数でも利用できました。
同様に、3次方程式$ax^3+bx^2+cx+d=0$の解を$\alpha,\beta,\gamma$とした場合は、
\begin{eqnarray*}
  \left\{
    \begin{array}{l}
      \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \\
      \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} \\
      \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray*}
という3次方程式の解と係数の関係が成立します。

では、より高次な代数方程式における解と係数の関係はどうなっているでしょうか。本稿では4次方程式の解と係数の関係を求め、さらに高次な方程式の解と係数の関係を求めます。

なお、解と係数の関係を見つけたのは、アルベール・ジラール(1595-1632)だと言われています。

必要な知識
- 恒等式の係数比較
- $n$次の代数方程式には$n$個の解があるという事実(代数学の基本定理)

指針：
4次方程式の解と係数の関係を求め、帰納的に5次以上の解と係数の関係がどうなっているかを類推する。