大きな数に関するトピック5 -3^3^3^3と10^80の比較。宇宙の全原子数との比較

指数のタワー表記の記事（詳細）において、
\begin{equation*}
3 \uparrow\uparrow4 = 3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987} \\
\end{equation*}
という数が出てきました。指数のタワー表記がいかに簡単に膨大な数を表現できるかを実感してもらうために、この数がどれくらいの大きさのものなのかを考えます。

今まで、アボガドロ定数や地球の表面積、地球や宇宙の年齢と数を比較してきましたが、今回は宇宙にある（観測可能な）全原子数$10^{80}$と比較します。

必要な知識
- 指数のタワー表記(詳細)
- 常用対数の扱い

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ルート2のルート2乗のルート2乗のルート2乗の・・・

\begin{equation*}
\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.^{.^{.}}}}}}
\end{equation*}

はどうなるのでしょう。こういった表記は右から計算していくのでした（詳細）。無限におおきくなっていくのでしょうか？

必要な知識

- $3^{3^{3}}$などの意味(詳細)

- 数学的帰納法

- 二項定理

累乗のタワー表示

\begin{equation*}
3^{3^3}
\end{equation*}

はいくつだろうか。729になるだろうか？


必要な知識
- 中学で学習する程度の指数