各項の分母が等比数列、分子が等差数列のJakob Bernoulliの級数

\begin{equation*}

\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots

\end{equation*}
を求めてみましょう。一見すると、めちゃくちゃな級数に見えますが、よく見ると各項の分母は初項3、公比7の等比数列、各項の分子は初項１、公差5の等比数列だということが分かります（確かめよう）。そこで、まずはより一般的に


\begin{equation*}

\frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots

\end{equation*}


という級数を求めることから始めます。これは、ヤコビ・ベルヌーイという17世紀の学者が研究した級数です。


必要な知識
- シグマの基本的な扱い方
- 無限等比数列の和の公式
- 等比数列、等差数列の和の公式



$d > 1$ とする。

\begin{eqnarray*}

\frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots \\


= \left( \frac{a}{b} + \frac{a}{bd} + \frac{a}{bd^2} + \frac{a}{bd^3} + \frac{a}{bd^4} +\cdots \right) && \\


+ \left( \frac{c}{bd} + \frac{c}{bd^2} + \frac{c}{bd^3} + \frac{c}{bd^4} +\cdots \right) && \\


+ \left( \frac{c}{bd^2} + \frac{c}{bd^3} + \frac{c}{bd^4} +\cdots \right) && \\


+ \ \left( \frac{c}{bd^3} + \frac{c}{bd^4} +\cdots \right) && \\

\vdots　\hspace {30px} &&

\end{eqnarray*}

括弧の中はいずれも公比$\frac{1}{d}$の等比級数である。$d > 1$であるから、この等比級数は収束し、公式を用いれば、

\begin{eqnarray*}

&& \frac{a}{b} + \frac{a+c}{bd} + \frac{a+2c}{bd^2} + \frac{a+3c}{bd^3} + \frac{a+4c}{bd^4} + \cdots \\
&=& \frac{a/b}{1-1/d}+ \frac{c/bd}{1-1/d}+ \frac{a/bd^2}{1-1/d} + \frac{a/bd^3}{1-1/d} + \cdots \\
&=& \frac{a/b}{1-1/d}+ \frac{c}{d(b-1)} \left\{ 1+\frac{1}{d}+\frac{1}{d^2}+\frac{1}{d^3}+\cdots \right\} \\
&=& \frac{a/b}{1-1/d}+ \frac{c}{d(b-1)} \frac{1}{1-1/d} \\
&=& \frac{ad^2-ad+cd}{bd^2-2bd+b}

\end{eqnarray*}

となる。

級数

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots
\end{eqnarray*}

は、$a=1, b=3, c=5, d=7$の場合であるから、これらを代入して、

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{3} + \frac{6}{21} + \frac{11}{147} + \frac{16}{1029} + \frac{21}{7203} + \frac{26}{50421} + \frac{31}{352947}+ \cdots = \frac{77}{108}
\end{eqnarray*}

となる。