高校数学の発展: 虚数と複素数の違い

虚数と複素数の違いがあいまいな高校生が多いです。次の問いに答えることができますか？

問．次の3つの数は、「純虚数」「複素数」「虚数」「実数」のどれに該当するか言え。

(1) $23$
(2) $3+i$
(3) $\sqrt{-2}$
(4) $0$

まず、(3)は$\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$と直しておきます。

複素数というのは、虚数単位$i$と実数$a,b$を用いて$z=a+bi$とかける数$z$のことを言います。ちなみに、$a$を実部、$b$を虚部と呼びます。$b=0$のとき、$z=a$なので全ての実数は複素数になります。つまり、(1)と(4)も複素数です。もちろん、(2)と(3)も複素数です。

一方で、虚数とは実数でない複素数のことを言います。言い換えれば、$b \neq 0$の複素数の全てが虚数になります。このことから、(2),(3)は虚数であると言えます。

純虚数とは、虚数の中でも実部が$0$であるものを言います。
次のベン図のイメージをしっかりもちましょう。