方程式z^n=rと複素平面―複素平面上に正多角形が現れる―

今回は自然数$n$と複素数$z$、それから実数$r$について
\begin{equation*}
z^n=r
\end{equation*}
という$z$の関する方程式を考えます。

実はこの解を複素平面上にプロットすると面白いことが起こります。
複素平面の復習はこちら

必要な知識
- 複素平面（詳細）
- 複素数範囲での因数分解

相反方程式の解法

次のような方程式を相反方程式や逆数方程式と呼びます。
\begin{eqnarray*}
5x^4+4x^3+3x^2+4x+5&=&0 \\
7x^5+8x^4+3x^3+3x^2+8x+7&=&0
\end{eqnarray*}

上から順に、4次,5次の相反方程式です。係数が左右対称になっています。

もちろん、より次数の高い相反方程式も存在します。

実はこの相反方程式、高次であっても比較的簡単に解くことができます。本稿では相反方程式の解き方を学びます。

必要な知識

- 数と式

- 二次方程式の解の公式

- 整式のわり算

- 因数定理

連立方程式の解の公式

中学では2次方程式の解の公式を学習します。3次や4次の代数方程式の解の公式を知っている人も居ると思います。

今回は、2元1次連立方程式の解の公式を求めます。

必要な知識
- 中学3年生までの数学

ベクトルの内積はなぜcosで定義されるのか。

高校の教科書では、$\vec{a}$と$\vec{b}$の成す角が$\theta$のとき、内積$\vec{a}\cdot \vec{b}$を次のように定義するとあります。

\begin{equation*}
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta
\end{equation*}

しかし、教科書にはその理由が書いてありません。

本稿では、なぜベクトルの内積がこのように定義されるのかを考えます。なお、本稿では、向きと大きさを持つベクトル量に対して、向きを持たない量をスカラ量と呼びます。

必要な知識
- 余弦定理
- ベクトルの基本的性質

逆三角関数の導入 アークサイン,アークコサイン,アークタンジェント

三角関数の逆関数を逆三角関数と言います。本稿では高校生の知識のみで逆三角関数を導入します。

必要な知識

- 逆関数についての基本的な性質（詳細）

- 三角関数
- 弧度法